Question

观察下图，解答下列问题。

（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，……，第六层有11个圆圈。如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第n层呢？
（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？
（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法。 比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或2²，
由此得，1 + 3 = 2²。
同样，
由前三层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 = 3²。
由前四层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 = 4²。
由前五层的圆圈个数和得：1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5²。
……
根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来。
（4）计算：1 + 3 + 5 + … + 19的和；
（5）计算：11 + 13 + 15 + … + 99的和。

Answer 1

解：（1）第七层有13个小圆圈，第n层有（2n-1）个小圆圈；
（2）令2n-1 = 77，得，n = 39
所以，这是第39层；
（3）1 + 3 + 5 + … +（2n-1）= n²；
（4）1 + 3 + 5 + … + 19 =10² = 100；
（5）11 + 13 + 15 + … + 99
      = （1 + 3 + 5 + …… + 99）-（1 + 3 + 5 + …… + 9）
      =50² -5² = 2475。