Question

设直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为S_k（k=1，2，…，2 008），那么S₁+S₂+…+S₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：令x=0，y=

1

k+1

；令y=0，x=

1

k

；则直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与两坐标轴的交点坐标分别为（

1

k

，0），（0，

1

k+1

）；所以S_k=

1

2

•

1

k

•

1

k+1

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），然后把k=1，2，…2008分别代入上式，得到S₁，S₂，…S₂₀₀₈，最后把它们相加即可．

解答：解：令x=0，y=

1

k+1

；令y=0，x=

1

k

；
则直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与x轴的交点坐标为（

1

k

，0），与y轴的交点坐标为（0，

1

k+1

）；
∴直线与两坐标轴所围成的图形的面积为S_k=

1

2

•

1

k

•

1

k+1

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
当k=1，S₁=

1

2

（1-

1

2

）；
当k=2，S₂=

1

2

（

1

2

-

1

3

）；
…
当k=2008，S₂₀₀₈=

1

2

（

1

2008

-

1

2009

）．
∴S₁+S₂+…+S₂₀₀₈=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=

1

2

（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．
故答案为：

1004

2009

．

点评：本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．