Question

设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+…+S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：令x=0，得y=

1

k+1

，令y=0，得x=

1

k

，则S_k=

1

2

•

1

k(k+1)

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），根据三角形面积公式求和．

解答：解：依题意，得直线与y轴交于（0，

1

k+1

），与x轴交于（

1

k

，0），则
则S_k=

1

2

•

1

k(k+1)

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
S₁+S₂+…+S₂₀₀₉
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

1

2

（1-

1

2010

）
=

2009

4020

．
故答案为：

2009

4020

．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是求出一次函数图象与坐标轴的交点，得出面积，再拆项求和．