题目内容
如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；
（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【答案】分析：（1）可通过平行四边形的判定，令PA=BQ，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出PF的值，这样就可以求出△PQF的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
解答：
解：（1）设OP=2t，BQ=t，PA=13-2t，
要使四边形PABQ为平行四边形，则13-2t=t，
∴
．
（2）当t=3时，OP=6，CQ=11-3=8，BQ=3．
∵
，
∴
=
．
∵BC∥DE∥PA，
∴
=
=
=
=
，
∴AF=6，
∴F（19，0）
∴
．
（3）①QP=QF，作QG⊥x轴于G，则
11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴
；
②PQ=FP，
∴
，
∴
；
③FQ=FP，
，
∴t=1．
综上，当
时，△PQF是等腰三角形．
点评：①本题综合考查了勾股定理的应用，直角梯形的判定，等腰三角形的判定和平行线分线段成比例等的知识点；
②由于知识点较多，有一定难度；
③要注意的是（3）中要分三种情况进行讨论，不可丢掉任何一种．
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出PF的值，这样就可以求出△PQF的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
解答：
解：（1）设OP=2t，BQ=t，PA=13-2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13-2t=t，
∴
．（2）当t=3时，OP=6，CQ=11-3=8，BQ=3．
∵
，∴
=
．∵BC∥DE∥PA，
∴
=
=
=
=
，∴AF=6，
∴F（19，0）
∴
．（3）①QP=QF，作QG⊥x轴于G，则
11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴
；②PQ=FP，
∴
，∴
；③FQ=FP，
，∴t=1．
综上，当
时，△PQF是等腰三角形．点评：①本题综合考查了勾股定理的应用，直角梯形的判定，等腰三角形的判定和平行线分线段成比例等的知识点；
②由于知识点较多，有一定难度；
③要注意的是（3）中要分三种情况进行讨论，不可丢掉任何一种．
练习册系列答案
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动时间为t（单位：秒）．
（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
单位，移动时间记为t秒．
如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．