题目内容

如图所示，矩形ABCD中，延长CB到E，使CE=CA，F是AE的中点，求证BF⊥FD．

答案：略
解析：

证法1：如图所示，连接CF．

∵CE=CA，F为AE中点，

∴CF⊥AE，∴∠2＋∠3=90°．

在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°．

∴∠ABE=90°．

∵F为AE的中点，∴AF=BF．

∴∠FAB＝∠FBA，

∴∠FAB＋∠BAD=∠FBA＋∠ABC，

即∠FAD=∠FBC．

在△FAD和△FBC中，

∵AF=BF，∠FAD=∠FBC，AD=BC，

∴△FAD≌△FBC，

∴∠3=∠1，∴∠2＋∠1=90°．

即∠DFB=90°，∴BF⊥FD．

证法2：如图所示，延长DA交BF的延长线于BD．

在矩形ABCD中，

AD∥BC，AC=BD．

∵F是AE的中点，∴AF=EF．

易证△AFG≌△EFB，

∴GF=BF，AG=BE．

则AD＋AG=BC＋BE，∴DG=CE．

∵CE=AC，∴DG=CE=AC=BD．

即△DGB是等腰三角形．

∵FG=BF，∴BF⊥DF．


练习册系列答案
相关题目
如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
3
个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在x轴上．
（1）当t为何值时，点M与点O重合；
（2）求点P坐标和等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
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18、如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当△ABC满足
∠BAC=150°
条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足
AB=AC≠BC
条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足
∠BAC=60°
条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．
17、如图①在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿着BC、CD、DA运动到点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则△ABC的周长为
12
．
如图，已知△ABC是等边三角形，点O为是AC的中点，OB=12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
3
个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）设等边△PMN和矩形ODE F重叠部分的面积为S，请求你直接写出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围；
（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
（2012•邵阳）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（　　）

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