题目内容
【题目】某数学活动小组在作等边三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是____(填序号即可)
；
；
整个图形是轴对称图形；
．
数学思考：在任意
中，分别以AB和AC为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
类比研究：在任意中，仍分别以AB和AC为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断
的形状？
【答案】操作发现：①②③④.；数学思考：
，
，理由见解析；类比探究：
是等腰直角三角形
【解析】
操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，依据平行四边形的对角相等及三角形全等的判定，可得
≌
，根据其性质就可以得出结论；
类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出≌，由全等三角形的性质就可以得出结论.
解：（操作发现）
和
是等腰直角三角形，
于点F，
于点G，
，
，
．
又
，
，故
正确；
∵在
和中，
≌
，
，
，
是BC的中点，
．
，
，
，
即
．
在
和
中，
≌
，
故
正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1沿AM对折左右两部分能完全重合，
整个图形是轴对称图形，故
正确．
，
，
，
，
又∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
,
同理
,
又∵在
中，
+
=
=
,
∴
+
=
,
即
=,
∴
,
∴
，
故
正确，
故答案为：①②③④.
（数学思考）
，．理由如下：
作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，则
，
．
又是BC的中点，
，
，
四边形AFMG是平行四边形，
，
，
．
和是等腰直角三角形，，．
，
，，
，
，
，
．
，
，
，
．
在和中，
≌
，
，
．
，
．
，
，
，
，
即
，
．
，；
（类比探究）
作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，
点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
，
，，
，
四边形MFAG是平行四边形，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，，
，
即
．
在和中，
≌，
，
．
，
，
，
，
即，
为等腰直角三角形．
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