Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（﹣1，0），B（0，3），O（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O．

⑴如图，一抛物线经过点A，B，B′，求该抛物线解析式；

⑵设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（，）；S最大=.

【解析】

（1）利用旋转的性质得出A′（-0，1），B′（3，0），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）设P点坐标为（m，n），连接OP、PB、PB′，结合（1）中求出的关系式，根据四边形PBAB′的面积=S△ABO+S△POB+S△POB′即可得到答案.

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O旋转90°得到的，

∴B′（3，0）．

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）,

∵抛物线经过点A（-1，0）、B′（3，0）、B（0，3），

∴ ，

解得：a=-1；b=2；c=3；

∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）设P点坐标为（m，n），连接OP、PB、PB′，

∵P在抛物线y=-x2+2x+3上，

∴n=-m2+2m+3，

∵四边形PBAB′的面积=S△ABO+S△POB+S△POB′

∴S四边形PBAB′= OAOB+ OBm+ OB′n

=+m+（-m2+2m+3）

=-（m-）2+

∴当m=时，S四边形PBAB′有最大值，

∵m=时，n=，

∴P点坐标为（，）.