题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．
（1）当x=________s时，DE⊥AB；
（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；
（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．

解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=3，
由勾股定理得：AE= $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，
AB=4 $\text{[math]}$ ，
∴∠ADE+∠AED=135°，
又∵∠DEF=45°，
∴∠BEF+∠AED=135°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x-2 $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当x=2 $\text{[math]}$ 时，y有最大值= $\text{[math]}$ ，
∵从运动的过程中可以得出点F运动的路程正好是2BF，
∴点F运动路程为2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cm，
答：在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式是y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ x，点F运动路线的长为 $\text{[math]}$ cm．

（3）这里有三种情况：

①如图，若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
②如图，若EF=BE，则∠B=∠EFB；

又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3 $\text{[math]}$ ，
∵动点E的速度为1cm/s
∴此时x=3 $\text{[math]}$ ；
③如图，若BF=BE，则∠FEB=∠EFB；

又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3，
∵动点E的速度为1cm/s，
∴此时x=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或3 $\text{[math]}$ 或3．
答：x的值为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或3 $\text{[math]}$ 或3．
分析：（1）求出∠A=∠B=45°，因为AD=3，由勾股定理求出AE长；
（2）由∠ADE+∠AED=135°和∠BEF+∠AED=135°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，代入即可；
（3）①如图，若EF=BF，由相似得到AE=DE= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求出t；②如图，若EF=BE，由相似求出AE，即可求出t；③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可求出t．
点评：本题主要考查对二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．