Question

【题目】如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点．

（1）证明与推断：

求证：四边形是正方形；

推断：的值为_ _；

（2）探究与证明：

将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；；（2）线段与之间的数量关系为；（3）或

【解析】

（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；

②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接CG，只需证即可得；

（3）由（2）证出就可得到，再根据三点在同一直线上分在CD左边和右边两种不同的情况求出AG的长度，即可求出BE的长度．

（1）证明：四边形是正方形，

四边形是矩形，

四边形是正方形；

解：由①知四边形CEGF是正方形，

∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，

∴，GE∥AB，

∴

故答案为：．

（2）如下图所示连接由旋转性质知

在和中，

，

线段与之间的数量关系为；

（3）解：当正方形在绕点旋转到如下图所示时：

当三点在一条直线上时，

由（2）可知，

，

∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，

当正方形在绕点旋转到如下图所示时：

当三点在一条直线上时，

由（2）可知，

，

∠CEA=∠ABC=90°，，

故答案为：或．