Question

如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．

（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．

（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）证明： 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以

  所以

所以

（2）解：的周长之和为定值．

理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，

因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH

因此，的周长之和等于BC＋CH＋BH 

由  BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，

所以BC＋CH＋BH＝24

理由二：

由AB＝5，AM＝4，可知   

在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：

，

所以，△BEF的周长是， △ECG的周长是

又BE＋CE＝10，因此△BEF和△ECG的周长之和是24．

（3）解：设BE＝x，则

所以

配方得：．

所以，当时，y有最大值．

最大值为．