题目内容
如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．（1）请你写出一对相似三角形，并加以证明；
（2）当点P满足什么条件时，PD=3PQ，请证明你的结论．
分析：（1）根据正方形推出∠B=∠C=∠QPD=90°，求出∠DPC=∠PQB，证△BPQ和△CDP相似即可；
（2）根据相似得到比例式，把PD=3PQ代入求出即可．
（2）根据相似得到比例式，把PD=3PQ代入求出即可．
解答：解：（1）△BPQ∽△CDP，
证明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠QPD=90°，
∴∠QPB+∠BQP=90°，
∠QPB+∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
（2）P为BC的三等分点时，PD=3PQ．
证明：∵△BPQ∽△CDP
∴
=
，
要使PD=3PQ，即
=
=
∴BP=
CD
即P为BC的三等分点时，PD=3PQ．
证明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠QPD=90°，
∴∠QPB+∠BQP=90°，
∠QPB+∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．
（2）P为BC的三等分点时，PD=3PQ．
证明：∵△BPQ∽△CDP
∴
| PQ |
| PD |
| BP |
| CD |
要使PD=3PQ，即
| PQ |
| PD |
| BP |
| CD |
| 1 |
| 3 |
∴BP=
| 1 |
| 3 |
即P为BC的三等分点时，PD=3PQ．
点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能求出△BPQ∽△CDP是解此题的关键．
练习册系列答案
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