Question

如图，在直角坐标系中，半径为2cm的动圆M与y轴交于A、B两点，且保持弦AB长为定值2cm，圆M与x轴没有交点，且圆心M在第一象限内，P是x轴正半轴上一动点，MQ⊥AB于Q，且MP=3cm，设OA=ycm，OP=xcm．
（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应x的值；
（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过M点作MN⊥OA，垂足为N，连接MA，
∵AB=2，MA=2，M为圆心，
∴AQ=AB=1，
∴ON=QM=，MN=y+1，
在Rt△MNP中，MP=3，PN=x-，
∴（y+1）²=9-（x-）²，
∴y=；

（2）当△MOP为等腰三角形时，
①若OP=PM=3时，x=3，
②若OM=PM时，x=2，
③若OM=OP时，有（y+1）²+3=x²
即9-（x-）²+3=x²，
解得或（舍去）；

（3）当△MQO∽△OMP时，有，
即，
∴，
∴，
解得或（舍去）但，
∴不存在满足条件的实数x，使△MQO∽△OMP．
分析：（1）过M点作MN⊥OA于N，连接MA，在Rt△AMQ中，AQ=AB，利用勾股定理求出MQ=，也就是ON的长度，而OQ=OA+AQ=y+1，在Rt△MNP中，再利用勾股定理列式整理即可得到y与x的关系式，根据被开方数不小于0解不等式即可求出x的取值范围；
（2）因为两条边是腰长不明确，所以分①OP=PM，②OM=PM，③OM=OP三种情况讨论求解；
（3）假设存在，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，解方程，如果符合条件，则存在，否则，假设不成立，不存在．
点评：本题考查点较多，有垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质和相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．