Question

如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

（2）求证：OD=OE；

（3）求证：PF是⊙的切线。

Answer 1

（1）2π；（2）（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据直径得出半径的长度，然后根据弧长的计算公式进行求解；（2）根据垂直得出∠ADO=∠PEO，对顶角相等，半径相等得出△ADO和△PEO全等，从而得出OD=OE；（3）连接PC，根据直径得出∠ABC=90°，从而说明PD∥BC，根据已知条件结合（2）得出△PCE和△PFC全等，从而说明∠OPF=90°，得出切线.

试题解析：（1）由直径AC=12得半径OC=6 劣弧PC的长为

（2）证明：∵ OD⊥AB，PE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

（3）连接PC，由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB， ∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE 由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC 由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF 在△PCE和△PFC中，

EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° 由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切线

考点：扇形的弧长计算，三角形全等的证明、切线的判定.

考点分析： 考点1：圆 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 试题属性

• 题型：
• 难度：
• 考核：
• 年级：