Question

【题目】已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PMBC交AB于点M，过点Q作QNBC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：

（1）当t为何值时，点M是边AB中点?

（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当t为s时，点M是AB中点；

（2）y与t的函数关系式是y

（3）t的值为s；

（4）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）求出BD＝3，根据，即可求出时间t；
（2）先判断出△MBP∽△ABD，进而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面积公式进行计算即可得出结论；
（3）根据（2）中所求，结合面积之间的关系建立方程即可得出结论；
（4）假设存在，先利用PM＝QN求出t，进而求出PM，PN，判断出PM≠PN即可得出结论．

解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，

∵PM⊥BC，

∴PM∥AD，

∴，

∵点M是AB中点

∴，

∴，

∵AB = AC，

∴，

∵BP=t，

∴，解得：，

即当t为s时，点M是AB中点；

（2）过点A作AD⊥BC于点D，

∵PM∥AD，

∴△MBP∽△ABD，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理，△QCN∽△ACD，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴y =S四边形PNQM=，

即y与t的函数关系式是y；

（3）若S四边形PNQM ：S△ABC＝4：9，则y=S△ABC，

∵S△ABC=，

∴，

解得，（不合题意，舍去），

∴t的值为s；

（3）若四边形PNQM为正方形，则需满足PM = QN，PM = PN，

当PM = QN时，，

解得：，

当时，PM =，PN=，

∴PM≠PN，

∴不存在．