Question

【题目】已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作平行四边形PCQE，求对角线PQ的最小值为______________．

Answer 1

【答案】7

【解析】分析：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得=，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案.

详解：设PQ与DC相交于点G，

∵PE∥CQ，PD=DE，

∴=，

∴G是DC上一定点，

作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

同理可证∠ADP=∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

即∴=，

∴CH=3，

∴BH=BC+CH=4+3=7，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为7.

故答案为：7.