Question

【题目】在中，，CD是AB边上的高，若.

（1）求CD的长.

（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上从点A出发向点C运动，速度为v个单位秒，设运动的时间为，当点Q到点C时，两个点都停止运动.

①若当时，，求t的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）CD=8；（2）t=4；（3）()

【解析】

（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；

（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；

（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.

解：（1）如图，作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，

∴BE=BC=

在Rt△ABE中，

∵△ABC的面积=

∴

（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，

∵△ABC的面积=，AB=AC

∴BF=CD

在Rt△CPD和Rt△BQF中

∵CP=BQ，CD=BF，

∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）

∴PD=QF

在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10

∴

同理可得AF=6

∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t

由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，

∵t＞0，

∴此种情况不符合题意，舍去；

当Q点在FC之间时，如图所示，

此时PD=6-t，QF=2t-6

由PD=QF得6-t=2t-6，

解得t=4，

综上得t的值为4.

（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F点时，显然CP≠BQ，

∵运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，

∴PD=6-t，QF=vt-6，

由PD=QF得6-t=vt-6，

整理得，

∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC

∴，代入得

，解得

所以答案为()