Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，AD∥BC，连结OD，AC．
（1）求证：∠B=∠DCA；
（2）若tanB=

5

2

，OD=3

6

，求⊙O的半径长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，由CD与⊙O相切，AB是⊙O的直径，易证得∠2+∠3=90°，∠1+∠B=90°，又由OA=OC，则可证得：∠B=∠DCA；
（2）由AD∥BC，AB是⊙O的直径，易证得△ABC∽△DCA，则可得

AC

DC

=

BC

AB

，又由∠B的正切值为

5

2

，可得：AC=

5

k，BC=2k，则AB=3k，继而表示出DC的长，然后由勾股定理，可得(

3 5

2

k)2+(

3

2

k)2=(3

6

)2，则可求得答案．

解答：（1）证明：连结OC．
∵CD与⊙O相切，OC为半径，
∴∠2+∠3=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠B，
即∠B=∠DCA．

（2）解：∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
∴△ABC∽△DCA，
∴

AC

DC

=

BC

AB

，
∵∠B的正切值为

5

2

，
设AC=

5

k，BC=2k，则AB=3k，
∴

5 k

DC

=

2

3

，
∴DC=

3 5 k

2

，
在△ODC中，OD=3

6

，OC=

1

2

AB=

3

2

k，
∴(

3 5

2

k)2+(

3

2

k)2=(3

6

)2，
∴解得：k=2，
∴⊙O的半径长为3．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．