Question

如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别是BC、CD边上的动点，（E、F不与C重合）
①当EC=CF，且△AEF面积为2.5时，求EF的长和tan∠BAE．
②当EC=1时，设CF的长为x，y=S_△AEF，试求出y与x的函数关系式．（要求写出x的取值范围）

Answer 1

分析：（1）设EC=CF=x，根据三角形的面积公式求出x的值，就可以求出BE的值，再由勾股定理就可以求出EF的值，根据三角函数值就可以求出tan∠BAE；
（2）当CE=1时，就可以求出BE的值，由CF=x就可以求出DF=3-x，分别表示出△ABE、△CEF、△ADF的面积就可以表示出△AEF的值．

解答：解：①设EC=CF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠C=∠D=90°，
∴

1

2

x²=2.5，
∴x=

5

，
∴BE=3-

5

，
∴tan∠BAE=

3- 5

3

，
在Rt△CEF中，由勾股定理得
EF=

10

，
∴EF=

10

，tan∠BAE=

3- 5

3

；

②∵EC=1，
∴BE=2，
∴S_△ABE=

2×3

2

=3．
∵CF=x，
∴DF=3-x，
∴S_△CEF=

x

2

，S_△ADF=

3(3-x)

2

．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ABE-S_△CEF=
∴y=9-3-

x

2

-

3(3-x)

2

，
∴y=x+

3

2

（0＜x≤3）．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，函数关系式的运用，解答时运用三角形的面积公式求解是关键．