Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=ax2+bx过点A（6，0）和点B（3，

3

）．
（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）将抛物线y₁沿x轴翻折得抛物线y₂，求抛物线y₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y₂上是否存在点M，使△OAM与△AOB相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法将A，B两点代入求出即可；
（2）将抛物线y₁沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点B′(3 ， -

3

)，进而利用待定系数法求出即可；
（3）①当点M在x轴下方时，△OAM就是△OAB'；②当点M在x轴上方时，假设△OAM∽△OBA，分别得出M点坐标即可．

解答：解：（1）依题意，得

36a+6b=0 9a+3b= 3 .

解得

a=- 3 9 b= 2 3 3 .

，
∴抛物线y₁的解析式为：y1=-

3

9

x2+

2 3

3

x．

（2）将抛物线y₁沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点B′(3 ， -

3

)，
设抛物线y₂的解析式为：y2=mx2+nx，
∴

36m+6n=0 9m+3n=- 3

，
解得：

a= 3 9 b=- 2 3 3 .

∴抛物线y₂的解析式为y2=

3

9

x2-

2 3

3

x；

（3）过点B作BC⊥x轴于点C，
则有tan∠BOC=

BC

OC

=

3

3

．
∴∠BOC=30°，∠OBC=60°．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3．
∴∠BAC=30°，∠OBA=120°．
∴OB=AB．
即△OBA是顶角为120°的等腰三角形．
分两种情况：
①当点M在x轴下方时，△OAM就是△OAB'，此时点M的坐标为M(3 ， -

3

)．
②当点M在x轴上方时，假设△OAM∽△OBA，
则有AM=OA=6，∠OAM=120°．
过点M作MD⊥x轴于点D，则∠MAD=60°．
∴MD=3

3

，AD=3．∴OD=9．
而（9，3

3

）满足关系式y2=

3

9

x2-

2 3

3

x，
即点M在抛物线y2=

3

9

x2-

2 3

3

x上．
根据对称性可知，点(-3 ， 3

3

)也满足条件．
综上所述，点M的坐标为M1(3 ， -

3

)，M2(9 ， 3

3

)，M3(-3 ， 3

3

)．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及相似三角形的性质以及待定系数法求二次函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．