题目内容
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=9，点P在BC边上，CP=3，点Q为线段AP上的动点，射线BQ与矩形ABCD的一边交于点R，且AP=BR，则| QR |
| BQ |
考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质
专题：
分析：当R在AD上时，如图1，由条件可以得出△ABP≌△BAR，就可以得出BP=AR，在得出△BQP≌△RQA就可以得出BQ=RQ就可以得出结论；当R在CD上时，如图2，作QE⊥BC于E，设PE=x，可以得出QE=
x，由相似三角形的性质可以求出x的值就可以求出BQ和RQ的值而得出结论．
| 4 |
| 3 |
解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=9．AD∥BC，
∴∠RAQ=∠BPQ，∠ARQ=∠PBQ．
∵CP=3，
∴BP=6．
在Rt△ABP中由勾股定理，得
AP=10．
∵AP=BR，
∴BR=10．
在Rt△ABP和Rt△BAR中
∴Rt△ABP≌Rt△BAR（HL），
∴BP=AR．
在△AQR和△PQB中
，
∴△AQR≌△PQB（ASA），
∴QR=QB，
∴
=1；
当R在CD上时，如图2，作QE⊥BC于E，设PE=x，
∴
=
，
∴
=
，
∴QE=
x．
在Rt△BRC中，由勾股定理，得
CR=
．
∵
=
，
∴
=
，
∴x=
，
∴BE=6-
=
．
∵
=
，
∴
=
，
∴BQ=
，
∴RQ=10-
=
．
∴
=
=
．
故答案为：1或
．
∴∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=CD=8，AD=BC=9．AD∥BC，
∴∠RAQ=∠BPQ，∠ARQ=∠PBQ．
∵CP=3，
∴BP=6．
在Rt△ABP中由勾股定理，得
AP=10．
∵AP=BR，
∴BR=10．
在Rt△ABP和Rt△BAR中
|
∴Rt△ABP≌Rt△BAR（HL），
∴BP=AR．
在△AQR和△PQB中
|
∴△AQR≌△PQB（ASA），
∴QR=QB，
∴
| QR |
| BQ |
当R在CD上时，如图2，作QE⊥BC于E，设PE=x，
∴
| QE |
| AB |
| PE |
| PB |
∴
| QE |
| 8 |
| x |
| 6 |
∴QE=
| 4 |
| 3 |
在Rt△BRC中，由勾股定理，得
CR=
| 19 |
∵
| QE |
| CR |
| BE |
| BC |
∴
| ||
|
| 6-x |
| 9 |
∴x=
72
| ||
| 125 |
∴BE=6-
72
| ||
| 125 |
864-72
| ||
| 125 |
∵
| BE |
| BC |
| BQ |
| BR |
∴
| ||||
| 9 |
| BQ |
| 10 |
∴BQ=
192-16
| ||
| 25 |
∴RQ=10-
192-16
| ||
| 25 |
58+16
| ||
| 25 |
∴
| RQ |
| BQ |
| ||||
|
4+
| ||
| 8 |
故答案为：1或
4+
| ||
| 8 |
点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，比例的运用，解答时运用比例线段求解是关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，有一块三角形的菜地ABC，∠C=90°，AC=10m，BC=24m，求菜地的另一条边AB的长．|-
|的平方根是（ ）
| 1 |
| 9 |
A、
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、±
|
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线