Question

9．如图，P是平行四边形ABCD的对角线AC上的任一点，过点P的两直线EF、MN与平行四边形ABCD的边分别交于E、F、M、N，求证：ME∥FN．

Answer 1

分析 先根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，AD∥BC，利用平行线的性质得出∠AMP=∠CNP，∠MAP=∠NCP，那么△APM∽△CPN，根据相似三角形的性质得出$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PM}{PN}$．同理$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$，等量代换得到$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$，又∠MPE=∠NPF，那么△MPE∽△NPF，于是∠PEM=∠PFN，再根据平行线的判定得出ME∥FN．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠AMP=∠CNP，∠MAP=∠NCP，
∴△APM∽△CPN，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PM}{PN}$．
同理，∴△APE∽△CPF，
∴$\frac{AP}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$，
又∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴∠PEM=∠PFN，
∴ME∥FN．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．得出$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PE}{PF}$是解题的关键．