Question

9．已知抛物线y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$和直线y=（k+1）x+（k+1）²
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C三点的横坐标分别是x₁，x₂，x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到关于x的一元二次方程，然后根据一元二次方程根的判别式进行判定即可；
（2）由韦达定理可求得${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$，y=0可求得：x₃=-（k+1），然后列出x₁•x₂•x₃与k的函数关系式，最后利用配方法即可求得其最大值．

解答 解：（1）△=${b}^{2}-4ac=[-（k+2）]^{2}-4×1×\frac{5k+2}{4}$
=k²+4k+4-5k-2
=k²-k+2
=$（k-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$
∴△＞0．
∴抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）由韦达定理可知：${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{5k+2}{4}$，
令直线方程y=0得：（k+1）x+（k+1）²=0，解得：x₃=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）×$\frac{5k+2}{4}$=$-\frac{5}{4}（k+\frac{7}{10}）^{2}+\frac{9}{80}$．
当k=$-\frac{7}{10}$时，x₁•x₂•x₃有最大值，最大值为$\frac{9}{80}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的最值和一元二次方程根的判别式、根与系数关系的应用，将函数问题转化为方程问题是解题解题的关键．