Question

如图，已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，⊙M是△ABC的外接圆．
（1）求阴影部分扇形AMC的面积；
（2）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=K．
①设△OPQ的面积为S，求S关于K的函数关系式，并求出S的最大值；
②△CMQ能否与△AOC相似？若能，求出K的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出A点、B点的坐标，当x=0，求出C点的坐标，求出∠OBC=45°，求出∠M=90°，根据勾股定理求出AC=

OA2+OC2

=

10

和AM=

5

，根据扇形的面积公式求出即可；
（2）①由PQ⊥AB，∠PBQ=45°得出∠PBQ=∠PQB=45°，求出OP=OB-BP=3-k，根据三角形的面积公式s=

1

2

•OP•PQ即可求出答案；②当A、M、Q点在同一直线上时，由∠ACO=∠QCM，∠AOC=∠QMC=90°，得到△CMQ∽△AOC，根据勾股定理求出BQ=

BP2+PQ2

=

2

k，BC=

OB2+OC2

=3

2

，推出CQ=3

2

-

2

k，代入

AC

CQ

=

CO

CM

，即可求出k的值．

解答：解：（1）令y=x²-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A点（-1，0），B点（3，0），
∴OB=3，OA=1，
令x=0，则y=-3，
∴C点（0，-3），
∴OC=3，
∴OB=OC，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∴∠M=90°，
在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

10

，
在Rt△AMC中，AM²+MC²=AC²，AM=BM，
∴AM=

5

，
∴S_扇形AMC=

90×π( 5 )2

360

=

5π

4

，
答：阴影部分扇形AMC的面积是

5π

4

．

（2）①∵PQ⊥AB，∠PBQ=45°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ=K，
∴OP=OB-BP=3-k，
∴s=

1

2

•OP•PQ=

1

2

k（3-k）=-

1

2

k²+

3

2

k=-

1

2

(k-

3

2

)2+

9

8

，
∴s的最大值是

9

8

，
答：设△OPQ的面积为S，S关于k的函数关系式是s=-

1

2

k²+

3

2

k，S的最大值是

9

8

．

②当A、M、Q点在同一直线上时，
∠ACO=∠QCM，∠AOC=∠QMC=90°，
则△CMQ∽△AOC，
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得BQ=

BP2+PQ2

=

2

k，
在Rt△OBC中，根据勾股定理得：BC=

OB2+OC2

=3

2

，
∴CQ=3

2

-

2

k，
∴

AC

CQ

=

CO

CM

，
∴

10

3 2 - 2 K

=

3

5

，
∴k=

4

3

，
答：△CMQ能与△AOC相似，此时k的值是

4

3

．

点评：本题主要考查对三角形的面积，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元一次方程，扇形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．