Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，，顶点为P。
（1 ）求抛物线的解析式；
（2 ）若抛物线向上或向下平移个单位长度后经过点C（-5，6），试求k的值及平移后抛物线的最小值；
（3 ）设平移后的抛物线与y轴相交于D，顶点为Q，点M是平移的抛物线上的一个动点．请探究：当点M在何位置时，△MBD的面积是△MPQ面积的2 倍？求出此时点M的坐标。

Answer 1

解：（1 ）令，则。∴B点坐标为，。
∵，
∴
∴A点坐标为。
∴。求得。
∴所求的抛物线解析式为。
（2 ）设平移后抛物线的解析式为。
∵它经过点，
∴。
∴。
∴平移后抛物线的解析式为。
配方，得。
∵，
∴平移后的抛物线的最小值是-3。
（3 ）由（2 ）可知，，对称轴为。
又，
∴边上的高是边上的高的2 倍。
设M点坐标为，
①当M点的对称轴的左侧时，则有。
∴。
∴。
∴。
②当M点在y轴的右侧时，则有。
∴。
∴。
∴。
③当M点在y轴的右侧时，则有。
∴，不合题意，应舍去。
综合上述，得所求的M点的坐标是或。