Question

已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE，BG=DE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形BGDE′是什么特殊四边形？说明理由；
（3）若BG=4GF=8，DG=6，求四边形BFDE′的面积．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得四边形E′BGD为平行四边形；
（3）首先证明∠DFG=90°，得出四边形BFDE′是直角梯形，再运用勾股定理在直角△DGF中求出DF的长度，最后根据梯形的面积公式即可求出．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE；

（2）解：四边形DE′BG是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形DE′BG是平行四边形；

（3）解：∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°，
∵四边形DE′BG是平行四边形，∴DE′∥BG；
∴四边形BFDE′是直角梯形；
在直角△DGF中，∵∠DFG=90°，GF=2，DG=6，
∴DF=

36-4

=4

2

．
∴四边形BFDE′的面积=

1

2

（ED+BF）•DF=

1

2

（8+10）×4

2

=36

2

．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，难度中等．