Question

3．已知：小明在∠AOB的两边上分别取点M，N，使得OM=ON，并把两个完全一样的含有30°的直角三角板按如图所示的位置进行放置，两个直角三角板的斜边交于点P．小明说：“射线OP是∠AOB的平分线”．
请问：小明的说法正确吗？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质得出OC=OD，∠COM=∠DON，根据角平分线性质求出∠CPO=∠DPO．根据三角形外角的行中性质求出即可．

解答 解：正确；
过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴∠C=∠D=90°，
由题意，∠PMA=∠PNB=60°，
∴∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°．
∴∠OMC=∠OND．
在△OMC和△OND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠DNO}\\{∠OCM=∠ODN=90°}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△OND（AAS），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∵OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，
∴点O在∠CPD的平分线上，
∴∠CPO=∠DPO，
∴∠COP=∠DOP，
∴∠MOP=∠NOP，
即：射线OP是∠AOB的平分线．

点评 本题考查了角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，关键是正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定方法．