Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OG，首先证明∠EGK=∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE=90°，进而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；
（2）连接CO，利用勾股定理计算出HO的长，然后可得tan∠CAH=tan∠F=

12

8

=

3

2

，再利用三角函数在Rt△OGF中计算出FG的长．

解答：（1）证明：连接OG，
∵弦CD⊥AB于点H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，
∵CO=13，CH=12，
∴HO=5，
∴AH=8，
∵AC∥EF，
∴∠CAH=∠F，
∴tan∠CAH=tan∠F=

12

8

=

3

2

，
在Rt△OGF中，∵GO=13，
∴FG=

13

tan∠F

=

26

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定与三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．