Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F．下列结论：①BE=EC；②BC²=AC•DC；③S_△BEC：S_△BEA=2：1；④EF=

2

AD；⑤sin∠BCA=

2 + 6

4

．其中正确结论的个数有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：作AH⊥BD的延长线于H，作BG⊥CD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出∠EBA=∠EAB，就可以得出BE=AE．由∠CED=∠EAD，得出CE=AE．可以得出①是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值就可以得出结论②；根据等底的两三角形面积之比等腰高之比运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质就求出EF与AD的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤．

解答：解：∵CE⊥BD，
∴∠CED=∠CEB=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CD=2ED．
∵CD=2DA，
∴ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠CED=∠EAD，
∴CE=AE．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBA=15°，
∴∠EBA=∠EAB，
∴BE=AE．
∴BE=CE，故①正确；
设AD=x，则DE=x，CD=2x，
∴AC=3x，
∴AC•CD=6x²．
在Rt△CED中，由勾股定理，得
CE=

3

x
∴BE=

3

x，
在Rt△CEB中，由勾股定理，得
BC=

6

x，
∴BC²=6x²．
∴BC²=AC•DC，故②正确；
作AH⊥BD的延长线于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠CED=∠AHD，
∵∠CDE=∠ADH，
∴△CDE∽△ADH，
∴

CE

AH

=

CD

AD

=2，
∴CE=2AH．
∵S_△BEC=

BE•CE

2

，S_△BEA=

BE•AH

2

∴S_△BEC=

BE•2AH

2

=2×

BE•AH

2

，
∴S_△BEC=2S_△BEA，
∴S_△BEC：S_△BEA=2：1，故③正确；
∵EF∥CD，
∴△BFE∽△BCD，
∴

EF

CD

=

BE

BD

，
∴

EF

2x

=

3 x

3 x+x

，
∴EF=（3-

3

）x．
∵AD=x
∴EF=（3-

3

）AD≠

2

AD，故④错误；
作BG⊥CD于G，
∴∠BGC=∠BGD=90°，
∵∠BDG=60°，
∴∠GBD=30°，
∴GD=

1

2

BD=

1

2

（

3

x+x），
在RtBGD中由勾股定理得
GB=

3x+ 3 x

2

，
∴sin∠BCA=

3x+ 3 x 2

6 x

=

2 + 6

4

，故⑤正确．
故选C．

点评：本题考查了30°的直角三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角函数值的运用，解答时找到解决问题的入手点垂直是关键，灵活运用特殊角求解是重点，设参数求解是难点．