Question

20．将一把三角尺的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B，另一条直角边于DC所在的直线相交于Q．
（1）当点Q在边DC上时，如图1，求证：BP=QP；
（2）当点Q在边DC的延长线上时，如图，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明．

Answer 1

分析 （1）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；
（2）过点P作正方形对边CD、AB的垂线垂足为M、N，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP．

解答 证明：（1）如图1，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP，（AAS）
∴BP=QP；
（2）成立；
理由：如图2，过点P作PN⊥AB于N，PN交CD于点M，
在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ACD=45°
∴∠PMQ=∠PNB=∠CBN=90°，
∴CBNM是矩形，
∴CM=BN，
∴△CMP是等腰直角三角形，
∴PM=CM=BN，
∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPQ=90°，
∴∠MPQ=∠PBN，
在△PMQ和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPQ=∠PBN}\\{∠PNB=∠PMQ=90°}\\{BN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PMQ≌△BNP（AAS），
∴BP=QP．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质；解答本题时充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚正方形对角线上点的特点，正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题能力．