题目内容
如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=分析：连接BE、CE，由圆周角定理，易知∠AEB=∠ACB，∠ABC=∠AEC，只需求出tan∠AEC•tan∠AEB的值即可．
易证△ADC∽△BDC，△ADB∽△CDE，可得
=
，
=
．两式相乘，即可求得tan∠ABC•tan∠ACB的值．
易证△ADC∽△BDC，△ADB∽△CDE，可得
| AC |
| BE |
| AD |
| BD |
| AB |
| EC |
| BD |
| DE |
解答：
解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴
=
． ①
同理可由△ADB∽△CDE，得
=
． ②
①×②，得
=
=3．
Rt△AEC中，tan∠AEC=
．
同理得tan∠AEB=
．
故tan∠AEC•tan∠AEB=
=3．
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．
解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴△ADC∽△BDE，
∴
| AC |
| BE |
| AD |
| BD |
同理可由△ADB∽△CDE，得
| AB |
| EC |
| BD |
| DE |
①×②，得
| AB•AC |
| BE•EC |
| AD |
| DE |
Rt△AEC中，tan∠AEC=
| AC |
| EC |
同理得tan∠AEB=
| AB |
| BE |
故tan∠AEC•tan∠AEB=
| AB•AC |
| BE•EC |
∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，
∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．
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