Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF= 45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上
（1）求证：EF=PF；
（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

Answer 1

解：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°
        依题意△CDP是△CBE绕点C旋转90°得到，
        ∴∠ECP=90° CE=CP
        ∵∠ECF=45°， ∴∠FCP=∠ECP-∠ECF=90°-45°=45° ∴∠ECF=∠FCP
        又CF=CF， ∴△ECF≌△PCF。 ∴EF=PF。
     （2）相切。理由：过点C作CQ⊥EF于点Q。
       由（1）得，△ECF≌△PCF，∴∠EFC=∠PFC
       又CQ⊥EF，CD⊥FP，∴CQ=CD
      ∴直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切。