Question

如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求证：AH=2OL．

Answer 1

证明：证法1：作OM⊥AC于M，取CH的中点K，连接MK，LK，
则有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，
∴四边形OLKM为平行四边形，
∴MK=OL．又，
∴AH=2OL．
证法2：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，AD，则CD=2OL．
又∵CD⊥BC，AH⊥BC，
∴AH∥CD．
同理，AD∥HC，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AH=CD，
∴AH=2OL．
分析：分析1：要证AH=2OL，由△CAH中的中位线，转而证明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，所以OL∥MK，
因此，只需证明LK∥OM即可．由已知，这是显然的．
分析2：因为O为△ABC的外心，故可作其外接圆，为了证明AH=2OL，可证AH等于另一线段a，而a=2OL，则AH=2OL．为此，需添加一些辅助线：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，AD即可证得．
点评：此题考查了三角形的垂心与外心的性质．解此题要注意数形结合思想的应用，合理添加辅助线是解此题的关键．