Question

【题目】如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF；连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG；在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．

∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD=CD．故①正确；

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA．

又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，

∴△DFB≌△DAC．

∴BF=AC；DF=AD．

∵CD=CF+DF，

∴AD+CF=BD；故②正确；

在Rt△BEA和Rt△BEC中

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC．

∴CE=AE=AC．

又由（1），知BF=AC，

∴CE=AC=BF；故③正确；

连接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD=CD

又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC．∴BG=CG

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边，

∴CE＜CG．

∵CE=AE，

∴AE＜BG．故④错误．

故选C．