Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer 1

分析：求GF的长，可以先求GE、FE的长，E为AB边的中点，得出AE的长是解决此问题的途径，通过证明△AEG∽△BFE可以得出．

解答：解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E为AB边的中点，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE=

1×2

=

2

，GE=

1+2

=

3

，EF=

2+4

=

6

，GF=

3+6

=3．

另法：取GF的中点H，连接EH，

∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四边形GABF是梯形，
∴EH=

GA+BF

2

（梯形中位线定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH=

3

2

，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2×

3

2

=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

点评：本题考查正方形的特殊性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用．