Question

在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请分别求折痕的长．
（1）如图1，折痕为AE，点B的对应点F在AD上；
（2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，B的对应点G在PQ上，折痕为AE；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着PQ对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个菱形，显然，这个菱形的周长最短是40cm，求叠合后周长最大的菱形的周长和面积．

Answer 1

分析：（1）根据有一组邻边相等的矩形，得四边形ABEF是正方形，根据勾股定理求得AE的长；
（2）根据折叠的性质，得AP=

1

2

AB=

1

2

AG，则∠GAP=60°，根据折叠的性质，则∠EAB=30°，从而根据解直角三角形的知识求得AE的长；
（3）最大的菱形显然是菱形的较长对角线和矩形的对角线重合的情况．根据勾股定理求得菱形的边长，进而求得菱形的周长和面积．

解答：解：（1）∵四边形ABEF是正方形，
∴AE=20

2

；

（2）∵AP=

1

2

AB=

1

2

AG，
∴∠GAP=60°．
∵∠GAE=∠BAE，
∴∠EAB=30°．
∴AE=

AB

Cos30°

=

20

3 2

=

40 3

3

；

（3）最大的菱形如图所示：

设QE=x，则PE=25-x．
x²=（25-x）²+10²，
解得x=

29

2

．
则菱形的周长为58cm．
此时菱形的面积S=

29

2

×10=145．

点评：此题综合运用了正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质．