Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为-1，直线L：y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线L绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线L也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线的方程，可得A的坐标、点C的坐标，进而可得AO，CO的长；最后可得∠CAO=45°；
（2）根据题意，求得⊙B第一次与⊙O相切，即外切时，运动的长度与时间、直线L的位置；进而求出其旋转的角度，最后可求得直线AC绕点A每秒旋转的度数．
解答：解：（1）A（-，0），
∵C（0，-），
∴OA=OC．
∵OA⊥OC，
∴∠CAO=45°．

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，此时，直线α旋转到α₁恰好与⊙B₁第一次相切于点P，⊙B₁与x轴相切于点N，
连接B₁O，B₁N，则MN=t，OB₁=，
B₁N⊥AN，
∴MN=3，即t=3．
连接B₁A，B₁P．则B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠PAC=90°，
∴直线AC绕点A平均每秒转动30°．
点评：本题在平面直角坐标系中，求解圆的位置关系的问题，考查学生代数与几何知识的综合运用能力．