Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点A、B两点的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先用配方法求出抛物线的顶点C的坐标为（1，），根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出点D的坐标为（1，），运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x+，由BK∥AD，可设直线BK的解析式为y=x+m，将B（3，0）代入，得到直线BK的解析式为y=x-3，联立直线l与直线BK的解析式，求得它们的交点K的坐标为（5，），易求AB=BK=KD=DA=4，则四边形ABKD是菱形，由菱形的中心到四边的距离相等，得出点P与点E重合时，即是满足题意的点，根据中点坐标公式求出E点坐标为（2，）；
（3）先由点D、B关于直线AK对称，根据轴对称的性质得出DN+MN的最小值是MB．过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，则KP⊥AD，再由角平分线及轴对称的性质得出KF=KQ=PQ=2，则MB+MK的最小值是BP，即BP的长是DN+NM+MK的最小值，然后在Rt△BKP中，由勾股定理得出BP=8，即DN+NM+MK的最小值为8．
解答：解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得 ，
∴二次函数解析式为y=x²-x-；

（2）∵y=x²-x-=（x²-2x）-=（x-1）²-2，
∴顶点C的坐标为（1，），
∵点D为点C关于x轴的对称点，
∴点D的坐标为（1，）．
易求直线AD的解析式为y=x+，
∵BK∥AD，∴可设直线BK的解析式为y=x+m，
将B（3，0）代入，得3+m=0，解得m=-3，
∴直线BK的解析式为y=x-3．
由，解得，
∴交点K的坐标为（5，）．
∵A（-1，0）、B（3，0），K（5，），D（1，），
∴AB=BK=KD=DA=4，
∴四边形ABKD是菱形．
∵菱形的中心到四边的距离相等，
∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）；

（3）∵点D、B关于直线AK对称，
∴DN+MN的最小值是MB．
过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，
∴KP⊥AD．
∵AK是∠DAB的角平分线，
∴KF=KQ=PQ=2，
∴MB+MK的最小值是BP．即BP的长是DN+NM+MK的最小值．
∵BK∥AD，
∴∠BKP=90°．
在Rt△BKP中，由勾股定理得BP=8．
∴DN+NM+MK的最小值为8．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称、角平分线的性质，两函数交点坐标的求法，勾股定理，菱形的判定与性质，综合性较强，难度较大．运用数形结合及方程思想是解题的关键．