Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）

【解析】

（1）直接将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线y=x2+bx+c方程即可；
（2）由（1）中的解析式得出点C的坐标C（0，-2），从而得出点D（0，2），求出直线BD：y＝x+2，设点M(m，m+2)，Q(m，m2m2)，可得MQ=m2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即m2+m+4＝4可解得m=2；
（3）由Q是以BD为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD2+DQ2=BQ2，列出方程可以求出Q1（8，18），Q2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD2+BQ2=DQ2，列出方程可以求出Q3（3，-2）．

（1）由题意知，

∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，

∴解得：

∴所求抛物线的解析式为

（2）由（1）知抛物线的解析式为，令x＝0，得y＝﹣2

∴点C的坐标为C（0，﹣2）

∵点D与点C关于x轴对称

∴点D的坐标为D（0，2）

设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0）

∴0＝4k+2，解得：

∴直线BD的解析式为：

∵点P的坐标为（m，0P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q

∴可设点M，Q

∴MQ＝

∵四边形CQMD是平行四边形

∴QM＝CD＝4，即=4

解得：m1＝2，m2＝0（舍去）

∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形

（3）由题意，可设点Q且B（4，0）、D（0，2）

∴BQ2＝

DQ2＝

BD2＝20

①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2，

∴

解得：m1＝8，m2＝﹣1，此时Q1（8，18），Q2（﹣1，0）

②当∠DBQ＝90°时，则BD2+BQ2＝DQ2，

∴

解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此时Q3（3，﹣2）

∴满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）．