Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过点（0，6），其对称轴为直线x=．在x轴上方作平行于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在对称轴的右侧），过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C． 设A点的横坐标为m．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式．
（2）当m为何值时，矩形ABCD为正方形．
（3）当m为何值时，矩形ABCD的周长最大，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）∵对称轴为直线x=，
∴，
∴b=3．
把（0，6）代入y=-x²+3x+c得，
6=-0+3×0+c，
解得c=6．
∴此抛物线所对应的函数关系式为y=-x²+3x+6．

（2）根据题意，得：
，AD=-m²+3m+6．
∵ABCD为正方形，AB=AD．
∴2m-3=-m²+3m+6，
解得．
∵点A在对称轴的右侧，
∴．
∴舍去．
∴．

（3）设矩形ABCD的周长为C．
．
∴当时，矩形ABCD的周长最大为．
分析：（1）首先根据对称轴求得b值，然后代入点（0，6）求得c值即可；
（2）①首先用含m的代数式表示出线段AB、AD的长，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有关m的等式求得m的值即可；
②表示出正方形的周长，然后利用配方法求最值即可；
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法确定二次函数的顶点坐标及最值等知识，难度中等，能够考查同学们应用知识的能力．