Question

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为8的正方形，M（8，s）、N（t，8）分别是边AB、BC上的两个动点，且OM⊥MN，当ON最小时，s+t=10．

Answer 1

分析 易证得△OAM∽MBN，则$\frac{OA}{MB}=\frac{AM}{BN}$，由此可求得s与t的关系式，从而得到t的取值范围．由勾股定理可得ON=$\sqrt{O{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{64+{t}^{2}}$，结合t的取值范围可得ON的最小值，从而求得s、t的值．

解答 解：∵∠OMN=∠B=∠A=90°，
∴∠NMB+∠MNB=90°，∠NMB+∠OMA=90°，
∴∠MNB=∠OMA，
∴△OAM∽MBN，
∴$\frac{OA}{MB}=\frac{AM}{BN}$，
即$\frac{8}{8-s}=\frac{s}{8-t}$，
所以（8-s）s=8（8-t），变形得（s-4）²=8t-48．
∵（s-4）²≥0，
∴8t-48≥0，t≥6．
∵ON=$\sqrt{O{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{64+{t}^{2}}$，
当t=6时，ON取得最小值，最小值为$\sqrt{64+36}$=10．
将t=6代入（s-4）²=8t-48得s=4．
所以当ON最小时，s+t=6+4=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断，判断出t的取值范围是解题的关键．