Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点， ，则 ______ ．

Answer 1

【答案】

【解析】过B作BM⊥CA，交CA的延长线于M，过D作DN⊥CA，垂足为N，

∴∠BME=∠DN90°，
∵点E为BD的中点，
∴BE=DE，
∵∠BEM=∠DEN，
∴△BME≌△DNE，
∴BM=DN，
∵AB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠BAM=∠DCN，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BDC=∠BAM，
∴∠BDC=∠DCN，
∴DE=CE，
∴BE=CE=DE，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN，
∴△BCD是直角三角形，
∵tan∠ACB=，
∴tan∠DBC=，
∵DC=5，
∴BC=10，
在△BMC中，设BM=x，则CM=2x，
由勾股定理得：x2+（2x）2=102，

x=±2 ，
∴BM=DN=2，CM=4，
由勾股定理得：AM=,

∴CN=AM=，
∴AN=CM-AM-CN=4--=2，
在△ADN中，AD=.

故答案是： .