题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点M是AD的中点．点E是边AB上的一动点，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交BC的延长线于点G，连接EG，交边DC于点Q．设AE的长为x，△EMG的面积为y
（1）求∠MEG的正弦值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）线段MG的中点记为点P，连接CP，若△PGC∽△EFQ，求y的值．
【答案】分析：（1）先过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，得出GN的值，再根据M是AD的中点，得出AM=1，即可得出=的比值，从而得出∠MEG的正切值，根据勾股定理求出EG，即可求出∠MEG的正弦值；
（2）由（1）知，MG=4EM，在Rt△AEM中，得出MG=4，根据S△EMG=EM•MG，即可求出函数解析式，并得出x的取值范围；
（3）先分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，得出BE、IG、BG、CF、CG、CH的值，即可得出EF=PG，∠F=∠PGC，再根据△PGC∽△EFQ，得出∠QEF=∠CPG即可得出y的值．
解答：解：（1）过点G作GN⊥AD交AD的延长线于点N，可证得△AEM∽△NMG，
∴=，
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中点，
∴AM=1，
∴==4，
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG==4；
设MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG==x，
∴sin∠MEG===，
即∠MEG的正弦值是；

（2）由（1）知，=4，即MG=4EM，
∵在Rt△AEM中，EM=，
∴MG=4，
∵S△EMG=EM•MG，
∴y=2x2+2 （＜x≤4）；
（3）分别过点P、M作PH、MI垂直BG于点H，I，
∴BE=4-x，IG=4x，
∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，
∴EF=PG，∠F=∠PGC，
∵△PGC∽△EFQ，
∴∠QEF=∠CPG，
则可证：△CPG≌△QEF，
∴QF=CG=4x-1，
∴CQ=CF-QF=5-3x，
可证BE∥CQ，
∴=，即CG•BE=CQ•BG，
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），
解得：x1=，x2=（舍去），
∴y=；

综上所述，可知y的值是．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据矩形的性质，锐角三角函数的定义分别进行解答，特别是注意第三问有两种情况，不要漏掉．
练习册系列答案
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A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网
如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE精英家教网．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=
2
，BC=2，求⊙O的半径．
如图①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿 D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H的实际意义？
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．
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如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与AB交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
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