Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=AD,∠BAD的平分线交BC边于点E，连接DE.

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°,EC=2BE,判断DE和DC的位置关系，并证明之.

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BE,

         ∴∠1＝∠2

       ∵∠1＝∠3

       ∴∠2＝∠3

       ∴AB=BE

     ∵AD∥BC,AD=AB

     ∴AD=BE

    ∴四边形ABED是平行四边形  

     ∵AB=BE

     ∴四边形ABED是菱形   

    （2）DE⊥DC

     证明：过点D作DF⊥BC于F,

     ∵四边形ABED是菱形

      ∴AB∥DE

      ∵∠ABC＝60°, ∴∠DEC＝60°

      ∴∠EDF＝30°          

      设EF=，则，  

      ∵DE＝2BE＝2DE＝

        ∴

    在△DFC中， 

    在△DEC中，

                      

     ∴  ∴△DEC是直角三角形，∠EDC=90°

      ∴DE⊥DC