Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；

（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

 解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），

∴，解得，

∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x²+6x+8；4分

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°

∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA

∴△EDF∽△DAO                5分

∴．

∵，

∴=，

∴，∴EF=t．

同理，

∴DF=2，∴OF=t﹣2．8分

（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x²+6x+8，

∴C（0，8），OC=8．

如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，

∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，

当∠CEA=90°时，CE²+ AE²= AC²

   10分

当∠ECA=90°时，

CE²+ AC²= AE²

即点D与点C重合.   12分