Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2；
（1）当AD=3时，求DE的长；
（2）当点E、F在边AC、BC上移动时，设AD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）在点E、F移动过程中，△AED与△CEF能否相似，若能，求AD的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理先求出BC的长，再通过证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得出DE的长；
（2）通过证明△BGF∽△BCA，根据相似三角形的性质得出y关于x的函数解析式；
（3）由（1）（2）可得：AE=

5

3

x，BF=10-

5

4

x，分∠A=∠CEF，∠A=∠CFE两种情况求出△AED与△CEF相似时AD的长．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8（1分）
∵ED⊥AB∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB（1分）
∴

AD

AC

=

DE

BC

∴

3

6

=

DE

8

∴DE=4（1分）

（2）∵FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°
又∵∠B=∠B
∴△BGF∽△BCA（1分）
∴

BG

BC

=

FG

AC

∴

8-x

8

=

y

6

（1分）
∴y=-

3

4

x+6（

8

5

≤x≤

18

5

）（2分）

（3）由（1）（2）可得：AE=

5

3

x，BF=10-

5

4

x
∴CE=6-

5

3

x，CF=

5

4

x-2（1分）
当∠A=∠CEF时，

CE

CF

=

3

4

，解得：x=

72

25

；（2分）
当∠A=∠CFE时，

CE

CF

=

4

3

，解得：x=

13

5

；（2分）
∴当AD的长为

72

25

或

13

5

，△AED与△CEF相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及一次函数的综合应用等知识，综合性强，难度较大．