Question

如图，⊙O和⊙O₁分别是△ABC的外接圆和内切圆，两圆的半径分别为6和2，连接AO₁并延长交⊙O于D，则AO₁•O₁D的值为

1. A.
   24
2. B.
   12
3. C.
   16
4. D.
   20

Answer 1

A
分析：过D作圆O的直径DQ，连接QC、DC、O₁E、BO₁、BD，由圆周角定理求出∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，证△AO₁E∽△QDC，得到=，求出AO₁•DC=24，根据三角形的内切圆和三角形的外角性质推出∠DBO₁=∠BO₁D，推出O₁D=BD=CD，即可求出答案．
解答：解：过D作圆O的直径DQ，连接QC、DC、O₁E、BO₁、BD，
∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，
∵O₁E⊥AC，
∴∠AEO₁=90°=∠DQC，
∴△AO₁E∽△QDC，
∴=，
AO₁•DC=2×（6+6）=24，
∵圆O₁是△ABC的内切圆，
∴∠BAD=∠DAC，∠ABO₁=∠CBO₁，弧BD=弧CD，
∴∠DBO₁=∠BO₁D，DB=CD，
∴O₁D=BD=CD，
∴AO₁•O₁D=24，
故选A．
点评：本题主要考查对三角形的外角性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．