Question

已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上有一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．

（1）求证：AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CG和CE的长．

Answer 1

证明：⑴连接AD

      ∵∠DAC=∠DEC   ∠EBC=∠DEC    ∴∠DAC=∠EBC           

又∵AC是⊙O的直径   ∴∠ADC=90°  ∴∠DCA+∠DAC=90°    

∴∠EBC+∠DCA=90°  ∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°

∴AC⊥BH                                                  

⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°

∴∠BAD=45°    ∴BD=AD

∵BD=8                          

∴AD=8                                                      

又∵∠ADC=90°   AC=10  ∴由勾股定理，得.

∴BC=BD+DC=8+6=14                                          

又∵∠BGC=∠ADC=90°   ∠BCG=∠ACD

∴△BCG∽△ACD   ∴   ∴   ∴       

  连结AE，∵AC是直径  ∴∠AEC=90°

又∵EG⊥AC

∴△CEG∽△CAE     ∴   ∴  

∴.