Question

如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′．

(1)求证：四边形OAO′B是菱形；

(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．

Answer 1

考点：

一次函数综合题；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的判定。

专题：

计算题；证明题。

分析：

(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，推出AO＝AO′，BO＝BO′，求出AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案；

(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可．

解答：

(1)证明：∵点O关于直线y＝x＋b的对称，

∴直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，

∴AO＝AO′，BO＝BO′，

又∵OA，OB是⊙O的半径，

∴OA＝OB，

∴AO＝AO′＝BO＝BO′，

∴四边形OAO′B是菱形．

(2)解：如图，当点O′落在圆上时，OM＝OO′＝1，

∵设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，

∴△ONP为等腰直角三角形，

∴∠ONP＝45°，

∵四边形OAO′B是菱形，

∴OM⊥PN，

∵∠ONP＝45°＝∠OPN，

∴OM＝PM＝MN＝1，

在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝，

即b＝．

点评：

本题考查了一次函数，等腰直角三角形，勾股定理，菱形的判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：图形和已知条件的结合，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．