题目内容
9．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGD的两边DE，DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N．
（1）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD旋转的度数；
（2）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．
分析 （1）先根据平行线及正方形的性质得出BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，故可得出BM=BN，根据SAS定理得出△DAM≌△DCN，故可得出∠ADM=∠CDN，由此可得出结论；
（2）延长BA交DE于H点，由ASA定理得出△DAH≌△DCN，DH=DN，AH=CN，再由SAS定理可得出△DMH≌△DMN，故可得出MN=MH=AM+AH，MN=AM+CN．由p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC可得出结论．
解答 解：（1）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
在△DAM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠DAM=∠DCN\\ AM=CN\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCN（SAS），
∴∠ADM=∠CDN，
∴∠ADM=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．
（2）不变化，证明如下：
如图，延长BA交DE于H点，
∵∠ADE=45°-∠ADM，
∠CDN=90°-45°-∠ADM=45°-∠ADM，
∴∠ADE=∠CDN．
在△DAH与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADH=∠CDN\\ AD=CD\\∠DAH=∠DCN\end{array}\right.$，
∴△DAH≌△DCN（ASA），
∴DH=DN，AH=CN．
在△DMH与△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}DH=DN\\∠MDE=∠MDN\\ DM=DM\end{array}\right.$，
∴△DMH≌△DMN（SAS），
∴MN=MH=AM+AH．
∴MN=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形ABCD的过程中，p值无变化．
点评 本题考查的是旋转的性质，熟知图形在旋转的过程中图形的大小及形状不变是解答此题的关键．
| A． | -4 | B． | -3 | C． | -2 | D． | -1 |
如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心坐标是（ ）| A． | （6，2） | B． | （6，1） | C． | （4，2） | D． | （2，6） |
如图，直线y=kx+6与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标是（-6，0）．
如图．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，8），B（-6，0），AB=10，点B、C关于y轴对称．