Question

(2005　海南)如图所示，抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标；

(3)设(1)中的抛物线交y轴于C点．在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)抛物线与x轴的两个交点分别为A(－1，0)、B(3，0)， ∴，解之得． ∴所求抛物线的解析式为． (2)设点P的坐标为(x，y)，由题意，得 ∴|y|=4，∴y=±4． 当y=4时， ∴． 当y=－4时，， ∴x=1． ∴满足条件的点P有3个，即． (3)在抛物线对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小． ∵AC长为定值． ∴要使△QAC的周长最小，只需QA＋DC最小， ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3，0)， ∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点． C点坐标是（0，-3）故设过点B、C的直线的解析式为y=kx－3， ∵直线过点B(3，0)， ∴3k－3=0． ∴k=1， ∴直线BC的解析式为y=x－3． 把x=1代入上式，得y=－2，∴点Q坐标为(1，－2)．